Sous-groupe <h², d²>

Quelques calculs dans H2D2   Table de Cayley de H2D2   Sous-groupes de H2D2   Classes de conjugaison de H2D2   Centre de H2D2   Structure de H2D2 et isomorphismes

Quelques calculs dans H₂D₂

Les éléments suivants sont d'ordre 2 : x³, h², x² h², x³ h², x⁴ h², x⁵ h².

  Retour vers le haut de la page

Table de Cayley de H₂D₂
Attention ! H₂D₂ n'est pas abélien.
La table de multiplication se lit en effectuant "élément de la ligne multiplié par élément de la colonne"

1

x

x2

x3

x4

x5

h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

1

1

x

x2

x3

x4

x5

h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

x

x

x2

x3

x4

x5

1

x h2

h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x2

x2

x3

x4

x5

1

x

x2 h2

x h2

h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x3

x3

x4

x5

1

x

x2

x3 h2

x2 h2

x h2

h2

x5 h2

x4 h2

x4

x4

x5

1

x

x2

x3

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

h2

x5 h2

x5

x5

1

x

x2

x3

x4

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

h2

h2

h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

1

x

x2

x3

x4

x5

x5 h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

h2

x5

1

x

x2

x3

x4

x4 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

h2

x5 h2

x4

x5

1

x

x2

x3

x3 h2

x3 h2

x2 h2

x h2

h2

x5 h2

x4 h2

x3

x4

x5

1

x

x2

x2 h2

x2 h2

x h2

h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2

x3

x4

x5

1

x

x h2

x h2

h2

x5 h2

x4 h2

x3 h2

x2 h2

x

x2

x3

x4

x5

1

  Retour vers le haut de la page

Sous-groupes de H₂D₂  

Les sous-groupes de H2D2 sont : {1} <x3> = {1, x3}, d'ordre 2, distingué. <h2> = {1, h2}, d'ordre 2, non-distingué. <x2> = {1, x2, x4}, d'ordre 3, non-distingué. <h2, x3> = {1, h2, x3, x3h2 = h2x3}, d'ordre 4, non-distingué. <h2, x2> = {1, h2, x2, x4, x2h2 = h2x4, x4h2 = h2x2}, d'ordre 6, non-distingué. <x> = {1, x, x2, x3, x4, x5}, d'ordre 6, distingué.

Remarque :   <h², x²> S₃,   en identifiant h² avec la transposition (1 2) et x² avec le 3-cycle (1 2 3).

  Retour vers le haut de la page

Classes de conjugaison de H₂D₂  
En utilisant la table de multiplication du groupe, on obtient :

Les classes de conjugaison de H2D2 sont : {1}, {x, x5}, {x2, x4}, {x3}, {h2, x2h2, x4h2}, {xh2, x3h2, x5h2}

  Retour vers le haut de la page

Centre de H₂D₂  
Un élément qui commute avec tous les autres forme une classe de conjugaison à lui seul, et réciproquement.
Les classes de conjugaisons à un élément sont {1} et {x³} donc

Z (H2D2) = {1, x3}

  Retour vers le haut de la page

Structure de H₂D₂ et isomorphismes  
Un produit semi-direct

H2D2 < x > < h2 > c'est-à-dire : H2D2 Z / 6Z Z / 2Z D6

représente le produit semi-direct.

Si l'on note * la loi sur le groupe < x > < h² > , l'isomorphisme est :

( < x > < h2 > , * )	-->	( H2D2 , . )
( xk, n)	|-->	xk . n

L'opération * est définie par ( x^k, n) * ( x^j, m) = ( x^k . n x^j n^-1, nm).
Mais puisqu'ici n appartient à < h² > et est donc d'ordre 2 on a n^-1 = n, donc on peut écrire :
( x^k, n) * ( x^j, m) = ( x^k . n x^j n, nm)
On peut détailler un peu plus : n = 1 ou n = h², or pour tout entier k entre 0 et 5, on a h² k^k h² = x^-k donc
( x^k, 1) * ( x^j, m) = ( x^{k + j} , m)
( x^k, h²) * ( x^j, m) = ( x^{k - j} , h²m)

Faîtes quelques calculs à l'aide de la table de Cayley du groupe, vous verrez que c'est assez étonnant (amusant ?) de calculer avec une loi de produit semi-direct...

Une petite remarque sur cet isomorphisme avec D₆.
Un théorème sur les groupes diédraux dit : "Tout groupe engendré par deux éléments a et b vérifiant les relations
aⁿ = b² = (ab)² = e est isomorphe à D_n, le groupe diédral à 2n éléments (groupe des isométries d'un polygone régulier à n côtés)".
Un autre théorème dit : " On a alors, pour tout entier k entre 0 et n, ba^kb = a^n-k et o( a^kb) = 2 ".
Ces relations sont vérifiées avec a = x et b = h². L'isomorphisme avec D₆ s'en déduit...

Un produit direct

H2D2 <h2, x2> x <x3> c'est-à-dire : H2D2 S3 x Z / 2Z

Remarque :   <h², x²> S₃,   en identifiant h² avec la transposition (1 2) et x² avec le 3-cycle (1 2 3).

  Retour vers le haut de la page